FORMULA PARA CALCULAR EL AREA DE UN SECTOR CIRCULA
Se denomina sector circular a la porción de círculo comprendida entre un arco de circunferencia y sus respectivos radios delimitadores.
El área de un sector circular depende de dos parámetros, el radio y el ángulo central, y está dada por la siguiente fórmula:A=r al cuadrado/2
Donde r es el radio de la circunferencia y α el ángulo que subtiende el arco de circunferencia, expresado en radianes.
O también:A=r al cuadrado N(grados)3.1416/360(grados)
Donde n corresponde al ángulo α en grados.
Las dos fórmulas anteriores son equivalentes.

Área del círculo como superficie interior del polígono de infinitos lados

El área del círculo se deduce sabiendo que la superficie interior de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2, es decir: .
Considerando la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio de la circunferencia, y el perímetro
con la longitud, por tanto, el área interior es:
A =p.a/2=l=r/2=(2.3.1416.r)/2=2.3.1416=3.1416.r2

Longitud de una circunferencia

-Calcular la longitud de una circunferencia es hallar la medida de la línea que la forma. El cociente entre la longitud y el diámetro de una circunferencia es constante y se denomina π.

Longitud de un arco de circunferencia
Si la amplitud del ángulo es n grados, la longitud Ar del arco de circunferencia asociado es:
2 · π · r → 360 ° A r → n } luego : A r = 2 · π · r · n 360 °
Si la amplitud del ángulo es α radianes (rad):
2 · π · r → 2 · π rad A r → α rad } luego : A r = 2 · π · r · α 2 · π = r · α
Área de un círculo
El área de un círculo, es la medida de la superficie limitada por la circunferencia perimetral del círculo dado.

Siendo el área, y el radio del círculo.

RADIO, DIAMETRO, CUERDA, ARCO, DE LA CIRCUNFERENCIA.
La circunferencia es una línea curva cerrada, cuyos puntos tienen la propiedad de equidistar de otro punto llamado centro. El término equidistar significa que están a la misma distancia. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.
Principales elementos de la circunferencia.- A continuación le explicamos las partes que conforman una circunferencia.

-Radio: es el segmento que une el punto centro con cualquier punto de la circunferencia. El radio permite nombrar a la circunferencia y lo identificamos con la letra r.



-Diámetro: segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el punto centro. El diámetro equivale a la medida de dos radios.

-Cuerda: es un trazo que une dos puntos de la circunferencia.





-Arco: es una parte o subconjunto de la circunferencia, limitada por dos puntos de ella.


Cómo calcular la longitud de una circunferencia.- Los matemáticos griegos decidieron indicar, con una letra de su alfabeto, el número de veces que la circunferencia contiene su propio diámetro. La letra escogida fue la letra π. Del número π, se conocen muchas cifras (tiene infinitas). Como las primeras son 3,141592653589...pero normalmente consideramos como valor de π 3,14.
Fórmula: Longitud de la circunferencia = π . diámetro
Como el diámetro es el radio multiplicado por dos (d= 2r), se suele escribir:
Perímetro de la circunferencia = π · diámetro = π ·2 · r = 2 · π · r
El área del círculo se calcula de la siguiente forma:
Recordemos: A ( polígono regular) = semiperímetro . apotema.
Como el perímetro del círculo es 2 · π · r, el semiperímetro será π · r, y la apotema será el mismo radio del círculo; por lo tanto:
A (círculo) = (π · r) · r = π · r2 = π · r2

Tipos de ángulos en una circunferencia
Los distintos tipos de ángulos en una circunferencia son:
Ángulo central: Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.
Imagen:Ángulo central
Su media es igual a la del arco que abarca.α=AB







Ángulo inscrito: Es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son dos secantes.
Imagen:Ángulo inscrito
Su medida es igual a la mitad del arco que abarca.








Ángulo semiinscrito: Es el que tiene su vértice en la circunferencia, uno de sus lados es tangente y el otro secante.
Imagen:Ángulo semiinscrito Su medida es igual a la mitad del arco que abarca.

Ángulo interior: Es el ángulo que tiene su vértice en un punto interior a la circunferencia.
Imagen:Ángulo interior
Su medida es igual a la semisuma de los dos arcos que abarca.

Ángulo exterior: Es el que tiene su vértice en un punto exterior y sus dos lados son secantes.
Imagen:Ángulo exterior
Su medida es la semidiferencia de los dos arcos que abarca.





Ángulo circunscrito: Es el que tiene su vértice en un punto exterior y sus dos lados son tangentes.
Imagen:Ángulo circunscrito
Su medida es la semidiferencia de los dos arcos que abarca.

Otras propiedades

Triángulos rectángulos inscritos en una semicircunferencia.
El segundo teorema de Tales muestra que si los tres vértices de un triángulo están sobre una circunferencia dada, siendo uno de sus lados el diámetro de la circunferencia, entonces, el ángulo opuesto a éste lado es un ángulo recto (véase arco capaz).
Dados tres puntos cualesquiera no alineados, existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos no alineados en el plano cartesiano , la ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la determinante matricial:

Circunferencia en topología
En topología, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada que sea homeomorfa a la circunferencia usual de la geometría (es decir, la esfera 1–dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente determinado al identificar los dos extremos de un segmento cerrado.[6]
Los geómetras llaman 3-esfera a la superficie de la esfera, mientras que topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la indican como .[7]

Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación en coordenadas cartesianas.

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,

se deduce:

resultando:



Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,
la ecuación de la circunferencia es:

Ecuación vectorial de la circunferencia [editar]
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: .Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:

Ecuación en coordenadas paramétricas [editar]
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:

y con funciones racionales como

Área del círculo delimitado por una circunferencia [editar]
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2, es decir: .
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:

Ángulos respecto de una circunferencia

Ángulos en la circunferencia.







Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

Longitud de la circunferencia
La longitud de una circunferencia es:
donde es la longitud del radio.
Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:

Relación entre dos circunferencias: posiciones relativas
Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:
Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)
Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)
Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)
Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)
Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)
Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.

Elementos de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
diámetro,o cuerda mayor, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
arco, segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
La circunferencia y un punto: posiciones relativas
Un punto en el plano puede ser:
Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
Perteneciente la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
La circunferencia y la recta: posiciones relativas
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.

Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad.[1] [2] [3] [4] [5]
Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.

CIRCUNFERENCIA